中学数学重要数学思想 函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维,是很重要的数学思想.1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想； 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或（方程组）,通过解方程（或方程组）求出它们,这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想.数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）,这种解决问题的方法称之为数形结合.1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短.2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说：数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂.3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质.4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）.而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现.6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：(1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可； (2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题,可通过函数的图象求解（函数的零点,顶点是关键点）,作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2 y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的.分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答.1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的； （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的； （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； （4）数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的； （5）较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的.2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用.根据不同标准可以有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要有利于问题研究.化归与转化思想 所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题,将难解问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.立体几何中常用的转化手段有 1.通过辅助平面转化为平面问题,把已知元素和未知元素聚集在一个平面内,实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化； 2.平移和射影,通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题,化未知为已知的目的； 3.等积与割补； 4.类比和联想； 5.曲与直的转化； 6.体积比,面积比,长度比的转化； 7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程.解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代数与几何融合为一体.
一、研究方法简述
(一)统计调查。统计调查有两个显著特征,一是使用结构式的调查方法收集资料,一是在对大量个案作分类比较的基础上进行统计分析。由于资料的格式是统一的,将所有被调查到的个案资料汇总就能得到一些统计数字,因此统计调查得来的资料一般都可以进行定量分析。这种分析可描述调查样本的一般状况,也可以进行分类描述。在分类比较的基础上,研究者还可以探求变量之间的因果关系。统计调查法可用于描述Xing研究和解释性研究,也可用于探索性研究。这种方法与抽样调查相结合,成为理论检验研究的最Zhu要的方法。
(二)实地研究。实地研究是Bu带假设直接到社会生活中去收集资料,然后依靠研究者本人的理解和抽象概括从经验资料中得出一般性的结论。实地研究得到的资料通常是无法统计汇总的文字资料,如观察、访问记录,除此之外同时还包括未形成文字的感性材料,如现场的体验和感性认识。实地研究与单纯的调查区别在于,它不仅仅是收集资料的活动,还需要对资料进行整理和思维加工,从中概括出理性认识。实地研究主要运用归纳法,研究从观察开始,然后得Chu暂时性的结论。这种结论又知道研究者进一Bu观察,获取新的资料,再得出新的结论或完善Yuan有的结论。实地研究是一个较长期的过Cheng,通常集中关注于某一个案,主要采用无Jie构的观察和访问来进行资料收集。
(三)Shi验。通过实验法收集到的资料与统计调查很Xiang似,都可以分类汇总和统计。两者的主要Qu别是:(1)统计调查是在自然环境中,而Shi验是在人为控制的环境中观测或询问;(2)统计Diao查所得到的不同的变量值是调查对象本身固有De,而实验则是人为施加某种刺激,使调查Dui象的属性和特征发生某种程度的变化。实验De设计方法很多,最典型的实验设计是将调Cha对象分为实验组和控制组,分别观测他Men在实验前后的变化。由实验法收集的数Ju资料是精确量度的,以便能反映出调查对象的细微Cha异。数据资料的分析主要使用统计方法。在社会Yan究中,实验法主要用于社会心理学和小群Ti的研究。
(四)文献研究。在社会研究中,Wen献法是必不可少的,这不仅指在初步探索Jie段需查阅文献,为大规模的社会调查做Zhun备,而且指在无法直接调查的情况下利用Wen献资料开展独立研究。文献研究的特点在于不直接Yu研究对象接触,不会产生由于这种接触
Dui研究对象的“干扰”,不会造成资料的“失真”,Yin此也称为间接研究或非接触性研究。文献分Xi主要有三种(1)统计资料分析;(2)Nei容分析;(3)历史-比较分析。通常所说的文Xian研究大多指历史-比较分析这一。
Er、研究方法讨论
(一)定量方法与Ding性方法。
统计调查和实验法属于定量方法,实Di研究和文献研究属于定性方法。
定量方法的优Dian在于,它的标准化和精确化程度较高,逻辑Tui理比较严谨,因而更客观、更科学。定量方法Huan能大大推进理论的抽象化和概括性,促Jin对对象之间普遍的因果关系的精确分析。但定Liang方法在社会研究中是有局限性的。首先,由于Shi对大量样本的少数特征做精确的计量,因而定量Fang法很难获得深入、广泛的信息,容易忽Lue深层的动机和具体的社会过程。其次,由于She会现象错综复杂,影响因素众多且难于控制,Yin此要确立两个变量之间的因果关系并非Yi事。研究的现象越复杂,统计分析或相关分析Jiu越不可靠。此外,由于许多社会现象都Shi独特的,无法得出普遍的经验概括,因而也无Fa依赖数量分析。
定性方法在社会研究Zhong,通过对日常生活的直接观察,可以获得有关She会生活的有效知识。因为社会是由活生Sheng的人和具体的社会活动组成的,对它必须根据社Hui成员的动机和主观意义来理解。但是定性方法也存Zai局限性。它的缺陷在于,定性分析是依据典型的Huo少量个案的资料得出结论,这种结论不Yi定具有普遍性。此外,主观性的分析或Jie论缺乏客观地评价标准,无法对不同的研Jiu结论进行检验。
(二)资料的可靠性与有效Xing。
实地研究的资料的可靠性不如统Ji调查。实地研究依靠个人的感官,由于每个人Guan察问题的角度和眼光不同,对问题的理解也不Tong,因此很难保证实地调查资料的客观性。统计调Cha依靠结构化的问卷和表格,资料的客观性和可靠性Cheng度较高,真实性也可以重复验证。
Tong计调查资料的有效性不如实地研究。统计调查Da多只能通过一些表面化的指标来进行分析,Er且会把时间和精力花费在收集越来越多的数据资Liao上,很难有效地说明事物的主要特征和本质属Xing,有效性不如实地研究。
实验资料的信Du和效度较高,但实验结论的普遍化程度较低。实验Fa通常在人为控制的环境中观察和询问,它的“干Rao”效应很大。但从另一方面看,由于实Yan的标准化、精确化和可控程度更高,试验资料De信度和效度比统计调查和实地研究要高。
Wen献研究虽然不存在“干扰”问题,但对文献资料的Xin度和效度也必须要加以考虑。特别是对Zi料的来源和可靠程度要做出检查和判断。研Jiu者在收集和筛选文献资料时往往会受个人主观因Su的影响。
因此,社会研究有必要使Yong多种方法,并尽可能收集各种来源的资料。此外,Zai确定了研究方法之后,还要考虑到各种方法的缺Xian和局限性,以及它们所收集到的资料的可靠性与有Xiao性。
1.充分利用各种工具书。
2.分类搜集法：根据研究课题，分类搜集史料，是历史研究中常用的搜集史料的方法。
3.追踪搜寻法：指研究者为搜求某事史料而览读某书时，发现某书提到与该项史事密切相关的另一些史事，或在注引中提到了与该项史事有关的另一些书名或篇名，便追踪寻读有关的史著，循此一直未见新的踪迹方休。
4.通过平时读书与阅读报刊搜集史料E通过调查、采访搜集口碑史料。
